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### Lista Detalhada de Problemas em Aberto em Teoria das Categorias
**Contextualização Geral:**
A teoria das categorias, introduzida por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane na década de 1940, é uma estrutura unificadora em matemática, conectando áreas como álgebra, topologia, geometria e lógica. Problemas em aberto nesta área frequentemente envolvem generalizações de estruturas clássicas, interações com teorias físicas e fundamentos da matemática. Abaixo, destacamos problemas com potencial para revolucionar a matemática moderna.

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#### **1. A Hipótese de Homotopia (Homotopy Hypothesis)**
**Contextualização Histórica:**
Proposta por Alexander Grothendieck em *Pursuing Stacks* (1983), a hipótese afirma que **∞-groupoids** (categorias infinitas onde todos os morfismos são invertíveis) capturam a essência dos tipos de homotopia espacial. Grothendieck conjecturou que a categoria de ∞-groupoids é equivalente à categoria de espaços topológicos com homotopia fraca.

**Estado Atual da Pesquisa:**
Avanços significativos foram obtidos com o desenvolvimento de **teoria das categorias ∞** (Jacob Lurie, *Higher Topos Theory*, 2009) e modelos como **quasicategorias**. A hipótese foi verificada para casos específicos (ex.: 1-groupoids correspondem a espaços homotópicos 1-truncados), mas a formulação geral para todos os ∞-groupoids permanece aberta. Obstáculos técnicos incluem a falta de um consenso sobre a definição "canônica" de ∞-groupoids e a complexidade de equivalências entre modelos.

**Motivação para Premiação:**
Uma prova completa unificaria teoria de homotopia e teoria das categorias, fornecendo uma ponte entre topologia algébrica e lógica homotópica. Isso impulsionaria a matemática construtiva e a teoria das tipos homotópicos (HoTT), além de simplificar cálculos em teorias de campo topológicas.

**Referências-Chave:**
- Grothendieck, A. (1983). *Pursuing Stacks*.
- Lurie, J. (2009). *Higher Topos Theory*.
- Awodey, S. (2010). *Homotopy Type Theory: Reference and Applications*.
**Estratégias Promissoras:**
Modelos de **teoria de tipos homotópicos (HoTT)** e **∞-topoi** de Lurie, combinados com técnicas de álgebra homológica não abeliana.

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#### **2. Classificação de TQFTs de Alta Dimensão via Categoria Fechada (Cobordism Hypothesis)**
**Contextualização Histórica:**
Proposta por John Baez e James Dolan (1995), a hipótese estabelece que TQFTs (Topological Quantum Field Theories) totalmente extendidas são classificadas por objetos **dualizáveis** em categorias simétricas monoidais. Lurie provou uma versão em *On the Classification of Topological Field Theories* (2009), usando ∞-categories.

**Estado Atual da Pesquisa:**
A hipótese é válida para dimensões ≤ 2, mas a classificação explícita de TQFTs em dimensões superiores (ex.: 4D) permanece desafiadora. Obstáculos incluem a complexidade de categorias de bordismo em alta dimensão e a falta de invariantes computáveis.

**Motivação para Premiação:**
Uma classificação completa transformaria a física matemática, especialmente a teoria quântica de campos, ao conectar invariantes topológicos com estruturas categóricas. Também abriria novas linhas em geometria não comutativa e computação quântica.

**Referências-Chave:**
- Lurie, J. (2009). *On the Classification of Topological Field Theories*.
- Freed, D. (2012). *The Cobordism Hypothesis*.
**Estratégias Promissoras:**
Uso de **teoria de Morse generalizada** e **categorias de Waldhausen** para modelar bordismos em alta dimensão.

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#### **3. Fundamentos Univalentes e a Conjectura de Voevodsky**
**Contextualização Histórica:**
Vladimir Voevodsky propôs a **teoria de tipos homotópicos univalentes** (HoTT) como fundamento alternativo para a matemática, onde o "axioma da univalência" identifica equivalências entre tipos com igualdade. A conjectura central é provar a **consistência** de HoTT com universos e sua implementação em assistentes de prova.

**Estado Atual da Pesquisa:**
HoTT foi formalizada em sistemas como Coq e Lean, mas a prova de consistência absoluta (sem depender de teorias de conjuntos) permanece aberta. Obstáculos técnicos incluem a dificuldade de modelar universos em teorias categóricas sem pressupostos de grande cardinal.

**Motivação para Premiação:**
Uma fundamentação consistente e computacionalmente verificável revolucionaria a lógica matemática e a verificação formal de teoremas, integrando teoria das categorias à ciência da computação.

**Referências-Chave:**
- Voevodsky, V. (2014). *A Simplicial Model of Univalent Foundations*.
- Shulman, M. (2019). *All (∞,1)-Toposes Have Strict Univalent Universes*.
**Estratégias Promissoras:**
Modelos em **∞-topoi** e **matemática condensada** (Scholze, 2020), combinando topologia e teoria de categorias.

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#### **4. Categorificação de Álgebras Quânticas**
**Contextualização Histórica:**
Louis Crane e Igor Frenkel (1994) conjecturaram que álgebras quânticas (como os grupos quânticos de Drinfeld) devem ser categorificadas em 2-categorias ou categorias de Khovanov. A categorificação completa do grupo quântico $ U_q(\mathfrak{sl}_n) $ foi parcialmente resolvida por Khovanov, Lauda e Rouquier.

**Estado Atual da Pesquisa:**
Categorificações existem para álgebras de Kac-Moody afins, mas a construção de **2-representações** para álgebras quânticas não afins é um problema aberto. Obstáculos incluem a falta de uma teoria geral de categorificação de alto nível.

**Motivação para Premiação:**
Uma teoria geral resolveria problemas em topologia de 4-variedades (ex.: invariantes de Donaldson) e teoria das cordas, além de unificar representação algébrica e teorias de campo topológicas.

**Referências-Chave:**
- Khovanov, M. (2002). *A Categorification of the Jones Polynomial*.
- Rouquier, R. (2008). *2-Representations of Kac-Moody Algebras*.
**Estratégias Promissoras:**
Uso de **categorias derivadas** e **teoria de Hodge em categorias** (work de Ben-Zvi e Nadler).

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#### **5. Teorias de Cohomologia Não Abelianas Generalizadas**
**Contextualização Histórica:**
Grothendieck propôs em *La Longue Marche à Travers la Conjecture de Hodge* (1981) que a cohomologia deve ser redefinida em termos de **stacks infinitos** (∞-stacks), generalizando teorias abelianas clássicas.

**Estado Atual da Pesquisa:**
Teorias como **cohomologia de Shukla** e **teoria de motivos não abelianos** foram desenvolvidas, mas a formulação geral para espaços não abelianos (ex.: categorias de Fukaya) é desconhecida. Obstáculos incluem a falta de uma teoria de Hodge não abeliana.

**Motivação para Premiação:**
Uma teoria geral resolveria a **conjectura de Hodge** e a **conjectura de Tate**, unificando geometria algébrica e teoria das categorias.

**Referências-Chave:**
- Toën, B. & Vezzosi, G. (2005). *Homotopical Algebraic Geometry II*.
- Scholze, P. (2019). *Lectures on Condensed Mathematics*.
**Estratégias Promissoras:**
**Matemática condensada** e **espaços derivados** de Toën-Vezzosi.

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### Estratégias Transversais Promissoras
1. **Teoria de Tipos Homotópicos (HoTT):** Integra lógica, topologia e teoria das categorias.
2. **∞-Topoi de Lurie:** Ferramenta para unificar geometria e lógica.
3. **Geometria Derivada:** Combina esquemas de categorias com álgebra homotópica.
4. **Matemática Condensada (Condensed Mathematics):** Substitui espaços topológicos por feixes sobre compactos extremos.

### Conclusão
Esses problemas, ao interligar teoria das categorias com física, lógica e geometria, representam desafios de alta complexidade. Sua resolução não só consolidaria a teoria das categorias como também abriria caminhos para novas interações entre matemática pura e aplicada, justificando reconhecimentos como a Medalha Fields ou o Prêmio Abel.