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### Problemas em Aberto na Teoria das Representações Dignos de Premiações de Relevância Mundial

Abaixo, apresento uma lista detalhada e atualizada de problemas centrais na teoria das representações, destacando sua relevância, complexidade e potencial impacto. Cada entrada segue a estrutura solicitada.

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#### **1. Conjecturas de Langlands Locais para Grupos p-ádicos**

**Contextualização Histórica**
Propostas por Robert Langlands nos anos 1970, essas conjecturas buscam relacionar representações n-dimensionais de grupos de Galois com representações admissíveis de grupos reductivos sobre corpos locais. O caso de $ \text{GL}(n) $ foi resolvido por Harris-Taylor e Henniart, mas a generalização para grupos clássicos (e.g., $ \text{SO}(n) $, $ \text{Sp}(2n) $) permanece parcialmente aberta.

**Estado Atual da Pesquisa**
Avanços recentes incluem a prova para grupos unitários e ortogonais em características mistas, usando geometria perfeita (Fargues, Scholze) e correspondência de Jacquet-Langlands. Obstáculos incluem a parametrização precisa de pacotes $ L $-admissíveis e a preservação de funções $ L $.

**Motivação para Premiação**
Uma solução completa unificaria teoria dos números e representações, fornecendo ferramentas para geometria aritmética e formas automorfas. Impactaria diretamente a programação de Langlands global.

**Referências-Chave**
- Livros: *The Geometry and Cohomology of Some Simple Shimura Varieties* (Harris-Taylor).
- Pesquisadores: Laurent Fargues, Peter Scholze, Tasho Kaletha.
- Artigo: *Geometrization of the Local Langlands Correspondence* (Fargues-Scholze, 2021).

**Estratégias Promissoras**
Geometria de espaços perfectoides, cohomologia de variações de Shimura e métodos de categorificação.

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#### **2. Programa de Langlands Geométrico**

**Contextualização Histórica**
Desenvolvido por Beilinson e Drinfeld nos anos 1990, inspirado em dualidades em teorias quânticas de campos. Relaciona $ D $-módulos sobre espaços de módulos de fibrados principais a feixes coerentes sobre sistemas locais.

**Estado Atual da Pesquisa**
Resolvido no caso abeliano (Fourier-Mukai) e parcialmente para $ \text{GL}(n) $. Avanços recentes incluem a construção da categoria espectral (Gaitsgory) e quantização de espaços de Hitchin (Arinkin-Calaque).

**Motivação para Premiação**
Criaria pontes entre geometria algébrica, topologia e física matemática, potencialmente gerando novos invariantes de variedades e entendimento de dualidades em teorias de gauge.

**Referências-Chave**
- Livro: *Langlands Correspondence for Loop Groups* (E. Frenkel).
- Pesquisadores: Dennis Gaitsgory, Edward Frenkel, Ngô Bảo Châu.
- Artigo: *Spectral Curves and the Generalised Theta Divisor* (Beilinson-Drimmel).

**Estratégias Promissoras**
Geometria de espaços de Hitchin, teoria de categorias superiores e métodos de teoria de cordas.

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#### **3. Conjectura de Alperin e Conjectura de Broué em Representações Modulares**

**Contextualização Histórica**
A conjectura de Alperin (1986) relaciona o número de caracteres irredutíveis modulares a subgrupos locais. A conjectura de Broué (1990) prevê equivalências derivadas entre blocos com grupos de defeito abelianos.

**Estado Atual da Pesquisa**
Provada para grupos de Lie tipo e alguns casos esporádicos. Obstáculos técnicos incluem a classificação de equivalências derivadas e a análise de funtores de Alperin-Broué.

**Motivação para Premiação**
Revitalizaria a teoria modular, conectando-a à topologia algébrica (e.g., cohomologia de espaços de classificação) e teoria de categorias.

**Referências-Chave**
- Pesquisadores: Michel Broué, Radha Kessar, Gunter Malle.
- Artigo: *Derived Equivalences and Representation Theory* (Rickard, 1994).
- Livro: *Representation Theory of Finite Groups* (M. Aschbacher).

**Estratégias Promissoras**
Categorificação, álgebras de Hecke afins e métodos de álgebra homológica.

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#### **4. Classificação do Dual Unitário para Grupos Redutivos Reais**

**Contextualização Histórica**
Originada por Harish-Chandra e Wigner, busca classificar todas as representações unitárias irredutíveis de grupos de Lie reais. O problema é central em física matemática e análise harmônica.

**Estado Atual da Pesquisa**
Resolvido para $ \text{GL}(n) $ e grupos clássicos via método de Dirac (Barbasch-Vogan). Para grupos excepcionais (e.g., $ E_8 $), o projeto Atlas computou resultados parciais.

**Motivação para Premiação**
Aprimoraria modelos em teorias quânticas de campos e relatividade, além de resolver questões em teoria espectral.

**Referências-Chave**
- Pesquisadores: David Vogan, Jeffrey Adams, Dan Barbasch.
- Projeto: Atlas of Lie Groups and Representations (atlas.math.utoronto.ca).
- Artigo: *Unitary Representations with Dirac Cohomology* (Huang-Pandžić, 2006).

**Estratégias Promissoras**
Métodos computacionais avançados (e.g., algoritmos de teoria de Lie) e análise microlocal.

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#### **5. Teoria de Categorificação e Representações de 2-Categorias**

**Contextualização Histórica**
Iniciada por Chuang-Rouquier e Khovanov-Lauda, busca elevar estruturas algébricas a níveis categóricos, como categorificação de grupos quânticos.

**Estado Atual da Pesquisa**
Categorias de 2-representações são compreendidas em casos simples (e.g., $ \mathfrak{sl}_2 $), mas a classificação de objetos simples e relações com invariantes topológicos permanecem desafiadoras.

**Motivação para Premiação**
Geraria novos invariantes em teoria de nós e fundamentos para teorias quânticas de campos topológicas.

**Referências-Chave**
- Pesquisadores: Aaron Lauda, Mikhail Khovanov, Ben Webster.
- Artigo: *Categorified Quantum Groups* (Lauda, 2008).
- Livro: *Higher Representation Theory* (Catharina Stroppel).

**Estratégias Promissoras**
Teoria de categorias superiores, álgebras de Hecke de dimensão 2 e conexões com teorias de Donaldson-Thomas.

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#### **6. Teoria de Kazhdan-Lusztig Além do Caso Clássico**

**Contextualização Histórica**
As conjecturas originais (1979) relacionam polinômios de Kazhdan-Lusztig a multiplicidades em módulos de Verma. Extensões para álgebras quânticas e Lie modulares são temas ativos.

**Estado Atual da Pesquisa**
Provas geométricas via feixes perversos (Bezrukavnikov), mas conjecturas para características positivas (e.g., Lusztig's conjecture) têm contraexemplos (Williamson, 2017), exigindo reformulações.

**Motivação para Premiação**
Resolvidas, transformariam geometria algébrica, combinatória e teoria das categorias, com aplicações em física estatística.

**Referências-Chave**
- Pesquisadores: David Kazhdan, George Lusztig, Geordie Williamson.
- Artigo: *Kazhdan-Lusztig Polynomials and Character Formula* (Bezrukavnikov, 2016).
- Livro: *Introduction to Quantum Groups* (Lusztig).

**Estratégias Promissoras**
Geometria de espaços de módulos, teoria de Hodge mixta e álgebras de Cherednik.

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#### **7. Intersecção entre Teoria Geométrica das Representações e Física**

**Contextualização Histórica**
Origina-se da dualidade entre teorias de gauge supersimétricas (Kapustin-Witten, 2006) e correspondência AGT (Alday-Gaiotto-Tachikawa, 2009), conectando representações a teorias de campos.

**Estado Atual da Pesquisa**
Verificações em casos específicos (e.g., simetria espelho 3D), mas formalizações matemáticas rigorosas de dualidades físicas são incipientes.

**Motivação para Premiação**
Unificaria matemática e física, criando ferramentas para teorias de cordas e sistemas integráveis.

**Referências-Chave**
- Pesquisadores: Anton Kapustin, Edward Witten, Davide Gaiotto.
- Artigo: *Electric-Magnetic Duality and the Geometric Langlands Program* (Kapustin-Witten, 2007).
- Livro: *Supersymmetric Gauge Theories and the AdS/CFT Correspondence* (Gaiotto et al.).

**Estratégias Promissoras**
Teoria de campos topológicos, geometria de Calabi-Yau e métodos de teoria das categorias.

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### Conclusão
Esses problemas representam fronteiras atuais da teoria das representações, com interconexões profundas com teoria dos números, geometria, física matemática e topologia. Sua resolução exigirá inovações em técnicas geométricas, categóricas e computacionais, justificando reconhecimento de alto nível como a Medalha Fields ou o Prêmio Abel.